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Die Final-σ-Algebra, auch Bild-σ-Algebracite-ref-1[1] genannt, ist ein spezielles Mengensystem, genauer eine σ-Algebra, in der Maßtheorie. Die zu einer vorgegebenen Familie von Funktionen gebildete Final-σ-Algebra ist das größte Mengensystem auf der gemeinsamen Zielmenge dieser Funktionen, bezüglich der diese sämtlich messbar sind. Somit bildet das Konzept der Final-σ-Algebra das Pendant zum Konzept der Initial-σ-Algebra, welche die kleinste σ-Algebra auf der Definitionsmenge darstellt, bezüglich der alle Funktionen der vorgegebenen Funktionenfamilie messbar sind. Ein analoges Konzept findet sich in der Topologie; hier sind die Initialtopologie bzw. die Finaltopologie die gröbste bzw. feinste Topologie auf der Definitionsmenge bzw. Zielmenge, bezüglich der alle Funktionen der vorgegebenen Funktionenfamilie stetig ist.

• Definition

• Eigenschaften

• Literatur

• Einzelnachweise

Für eine beliebige Indexmenge seien Messräume ( X i , A i ) {\displaystyle (X_{i},{\mathcal {A}}_{i})} gegeben sowie Abbildungen f i : : X i → → X {\displaystyle f_{i}\colon X_{i}\to X} für eine beliebige Menge X {\displaystyle X} . Dann heißt die σ-Algebra

F ( f i , i ∈ ∈ I ) := ⋂ ⋂ i ∈ ∈ I { A ⊂ ⊂ X | f i − − 1 ( A ) ∈ ∈ A i } {\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{i},\,i\in I):=\bigcap _{i\in I}\{A\subset X\,|\,f_{i}^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}_{i}\}}

die Final-σ-Algebra der Abbildungen f i {\displaystyle f_{i}} auf X {\displaystyle X} .

• Ist ein weiterer Messraum ( Y , A ∗ ∗ ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {A}}^{*})} gegeben und eine Funktion g : : X → → Y {\displaystyle g\colon X\to Y} , so ist g {\displaystyle g} genau dann F ( f i , i ∈ ∈ I ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{i},\,i\in I)} - A ∗ ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}} -messbar, wenn die Kompositionen g ∘ ∘ f i {\displaystyle g\circ f_{i}} alle A i {\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}} - A ∗ ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}} -messbar sind.

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.

cite-note-11. ↑ Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 32, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.